Ketahui Barisan Geometri: Pengertian, Rumus, dan Aplikasinya

Diketahui barisan geometri – Dalam dunia matematika, barisan geometri menjadi topik penting yang banyak dijumpai. Sederhananya, barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio konstan antara suku-suku yang berurutan. Yuk, kita bahas lebih dalam tentang barisan geometri yang seru ini!

Keunikan barisan geometri terletak pada pola pertambahan atau pengurangannya yang konsisten, sehingga menghasilkan barisan bilangan yang memiliki sifat-sifat khusus.

Pengertian Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memenuhi sifat tertentu, yaitu setiap suku setelah suku pertama merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio.

Sebagai contoh, barisan 2, 6, 18, 54, 162 adalah barisan geometri dengan rasio 3. Ini karena setiap suku setelah suku pertama (2) merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan 3.

Ciri-ciri Barisan Geometri

• Setiap suku setelah suku pertama merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan rasio yang tetap.
• Rasio barisan geometri dapat positif atau negatif.
• Jika rasio positif, maka barisan geometri akan naik (setiap suku lebih besar dari suku sebelumnya).
• Jika rasio negatif, maka barisan geometri akan turun (setiap suku lebih kecil dari suku sebelumnya).

Rumus Barisan Geometri

Barisan geometri merupakan barisan bilangan yang memiliki rasio yang sama antara suku yang berurutan. Rumus barisan geometri sangat penting untuk memahami sifat dan pola barisan tersebut.

Rumus suku ke-n barisan geometri:

Un = a

r^(n-1)

di mana:

• Un adalah suku ke-n
• a adalah suku pertama
• r adalah rasio
• n adalah nomor suku

Cara menggunakan rumus suku ke-n:

• Tentukan suku pertama (a)
• Tentukan rasio (r)
• Tentukan nomor suku (n)
• Masukkan nilai a, r, dan n ke dalam rumus
• Hitung nilai Un

Rumus jumlah n suku pertama barisan geometri:

Sn = a

• (1
• r^n) / (1
• r)

di mana:

• Sn adalah jumlah n suku pertama
• a adalah suku pertama
• r adalah rasio
• n adalah jumlah suku

Sifat Barisan Geometri

Barisan geometri merupakan barisan bilangan yang setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio.

Sifat-sifat barisan geometri antara lain:

Rasio Konstan

Rasio konstan adalah bilangan yang sama yang digunakan untuk mengalikan setiap suku barisan geometri. Rasio konstan dilambangkan dengan r.

Limit

Barisan geometri mempunyai limit jika |r|< 1. Limit barisan geometri adalah:

a / (1

r)

Aplikasi Sifat Barisan Geometri, Diketahui barisan geometri

Sifat barisan geometri banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari, seperti:

• Peluruhan radioaktif
• Pertumbuhan populasi
• Investasi berbunga majemuk

Tabel Sifat Barisan Geometri

Sifat	Penjelasan
Rasio Konstan	Setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio konstan r.
Limit	Barisan geometri memiliki limit a / (1 r) jika |r| < 1.
Aplikasi	Digunakan dalam berbagai bidang, seperti peluruhan radioaktif, pertumbuhan populasi, dan investasi berbunga majemuk.

Penerapan Barisan Geometri

Barisan geometri memiliki banyak penerapan dalam kehidupan nyata, baik dalam matematika maupun sains.

Dalam Kehidupan Sehari-hari

Contoh penerapan barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari antara lain:

• Pertambahan populasi bakteri dalam suatu kultur.
• Peluruhan radioaktif, di mana inti atom meluruh pada tingkat yang sebanding dengan jumlah inti yang tersisa.
• Investasi yang menghasilkan bunga majemuk.
• Penurunan tekanan udara saat kita naik ke ketinggian.

Dalam Matematika dan Sains

Barisan geometri juga banyak digunakan dalam matematika dan sains, di antaranya:

• Untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde pertama.
• Untuk menentukan sifat deret tak hingga.
• Untuk memodelkan pertumbuhan dan peluruhan eksponensial.
• Dalam fisika, untuk menghitung resonansi dan gelombang.

Soal dan Pembahasan Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu konstanta positif yang disebut rasio. Berikut ini adalah beberapa soal latihan dan pembahasan tentang barisan geometri:

Soal 1

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama 2 dan rasio 3. Tentukan suku ke-5 barisan tersebut.

Pembahasan:

• Suku pertama: a₁= 2
• Rasio: r = 3
• Suku ke- n: a_n= a ₁. r ^n-1

Untuk mencari suku ke-5, substitusikan n= 5 ke dalam rumus suku ke- n:

a ₅= 2 . 3 ^5-1

a ₅= 2 . 3 ⁴

a ₅= 2 . 81

a ₅= 162

Soal 2

Diketahui barisan geometri dengan suku ke-3 adalah 12 dan suku ke-5 adalah 48. Tentukan rasio barisan tersebut.

Pembahasan:

• Suku ke-3: a₃= 12
• Suku ke-5: a₅= 48
• Rumus suku ke- n: a_n= a ₁. r ^n-1

Substitusikan n= 3 dan 5 ke dalam rumus suku ke- n:

a ₃= a ₁. r ^3-1

12 = a ₁. r ²

a ₅= a ₁. r ^5-1

48 = a ₁. r ⁴

Bagi persamaan kedua dengan persamaan pertama:

4 = r ²

r = ±2

Karena rasio barisan geometri selalu positif, maka rasio barisan tersebut adalah 2.

Soal 3

Diketahui barisan geometri dengan suku pertama 5 dan rasio 1/2. Tentukan jumlah 6 suku pertama barisan tersebut.

Pembahasan:

• Suku pertama: a₁= 5
• Rasio: r = 1/2
• Jumlah nsuku pertama barisan geometri: S_n= a ₁. (1 – r ⁿ) / (1 – r)

Substitusikan nilai a₁, r, dan n= 6 ke dalam rumus jumlah nsuku pertama barisan geometri:

S ₆= 5 . (1 – (1/2) ⁶) / (1 – 1/2)

S ₆= 5 . (1 – 1/64) / (1/2)

S ₆= 5 . (63/64) / (1/2)

S ₆= 5 . 63/32

S ₆= 9,84

Simpulan Akhir: Diketahui Barisan Geometri

Memahami barisan geometri sangat bermanfaat, tidak hanya dalam dunia matematika tetapi juga dalam berbagai bidang kehidupan. Jadi, jangan ragu untuk mendalami topik ini lebih lanjut dan temukan keajaiban barisan geometri dalam kehidupan kita sehari-hari.